数学与AI之间的文化鸿沟

原文：The Cultural Divide between Mathematics and AI

对 2025 年联合数学年会上观察到的文化差异的反思

2025 年 3 月 11 日 作者：Ralph Furman | HackerNews 讨论

今年 1 月，我参加了 2025 年的联合数学年会（JMM），会议的主题是“我们决定自己的未来：人工智能时代的数学”。在会上，各种丰富的讲座和交流活动让我目不暇接。我不停地穿梭于熟悉的领域（比如模形式）与让我耳目一新的领域（如知识图谱），以及大量围绕人工智能如何应用于数学的讨论之间。

联合数学年会由美国数学学会（AMS）和美国数学协会（MAA）联合举办，是美国规模最大的数学家聚会，被形容为数学界的“家庭聚会”（Saxe, 2019）。我从 2009 年起每年都参加，最喜欢的就是这种大家庭的氛围。但今年，我明显感受到了数学研究者与人工智能产业从业者之间存在着明显的文化差异。这并不是说哪个群体更好或更差——我本人曾在两个圈子中都工作过，非常尊重双方所做的贡献。但这两个群体分别受不同的力量和现实所塑造，因此形成了各自不同的价值观、研究方法和观点。

在人工智能对数学产生巨大热情的同时，我担忧这种兴奋感往往伴随着对数学本质的误解或忽视。因此，我写下这些观察，希望清晰地表达这种文化差异，并试图搭建起一座沟通和协作的桥梁。我本人也在尝试开发工具，帮助数学研究变得更具确定性：sugaku.net。

2025 年联合数学年会上的观察

2025 年的联合数学年会有超过 6000 人参会，官方数据显示共举办了超过 2500 场演讲，其中大约 15% 的内容明确涉及人工智能相关的主题。这比五年前有了显著提升，当时人工智能的主题不到整体的 3%。

今年的年会呈现出了强烈的对比：传统数学领域的演讲保持着一贯的严谨和深度，而人工智能相关的新主题则充满了对未来的大胆设想和可能性的讨论。整个大会上，我甚至感受到了一种微妙的压力：似乎每位讲者都需要或多或少地涉及一些人工智能元素，即便这些元素可能与自己的研究关系不大。一些学者创造性地迎接了这个挑战，而另一些则巧妙地回避，继续专注于自己原本的研究课题。

在会议期间，我还听到不少数学家开玩笑，说自己经常收到一些 AI 公司的“骚扰邮件”，邀请他们帮忙“有偿解决数学问题”，目的是用于训练 AI 模型。

一位资深教授的一句话道出了这种差异的本质：

“他们（AI 研究人员）的激励方式和我们不同。”

这句话背后揭示了数学界和人工智能产业研究之间最核心的差异：数学家通常追求的是知识本身，是为了理解世界；而产业界的人工智能研究者，最终的目的则是开发产品、功能或技术，来为企业创造商业价值。

人们还表达了对人工智能发展诸多方面的担忧，比如可能被用于军事领域、研究过程的不透明性、巨大的能源消耗、以及研究资源越来越集中在富裕的私人实验室所导致的精英主义倾向。很多数学家甚至将这种现象与艺术界面对 AI 入侵时的复杂反应作类比：充满着好奇、适应和抵触的复杂情绪。

更让数学家感到忧虑的是人工智能领域越来越明显的保密文化。 长期以来，数学界一直以开放和透明为荣，研究成果自由共享、公开讨论。但如今，越来越多的大型 AI 实验室选择闭门研究，参与合作的数学家甚至无法公开讨论自己的成果。这严重违背了数学界的传统。正如伟大的数学家迈克尔·阿蒂亚在 1984 年所警告的：

“数学的繁荣离不开开放，保密对数学的发展是致命的。”

这种开放与保密之间的紧张关系，在有关工业界合作的讨论中尤其突出。正如威廉·瑟斯顿在他 1994 年的经典文章《数学中的证明与进步》中强调的那样：

“数学是一个共同努力的事业。”

而在本次年会上，不少参会者都流露出失望，表示人工智能研究的保密性让他们难以适应。

数学的本质是什么？

数学究竟是什么？

为了理解数学与人工智能之间的文化差距，我们必须先搞清楚数学究竟是什么。著名数学家保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）在《我想成为一名数学家》（1985）中优雅地描绘了这一点：

“当一个年轻人第一次看到某个困难定理的证明时，他会非常佩服，同时又困惑地问自己：‘这个证明是怎么想出来的？我怎么才能自己创造出类似的东西？’但教科书中从来不告诉你这些思路。”

哈尔莫斯的这段话道出了数学最本质的特性：数学并不仅仅是为了寻找一个证明，而是为了构建一种深刻的理解。

著名物理学家理查德·费曼在他的自传《别逗了，费曼先生！》（1985）中也开玩笑般地描述了数学家们特有的文化：

“普林斯顿的研究生院里，物理系和数学系共用一个休息室……我还记得，一个人坐在沙发上陷入了深思，而另一个人站在他面前，说：‘所以，这个结论当然是对的。’坐着的人问：‘为什么呢？’站着的人不耐烦地说：‘这还不明显吗？这太简单了！’接着他飞快地讲了一连串复杂的逻辑步骤，足足讲了 15 分钟。等他终于说完之后，坐着的人淡淡地点头说：‘哦，确实很简单。’

“我们物理学家当时笑坏了，试图搞懂这些数学家。最后我们开玩笑地总结：‘数学家只能证明简单定理，因为对他们来说所有被证明的定理都是简单的。’”

但实际上，在数学家眼中，“简单”正是他们追求的最高境界：将复杂的东西理解到足够透彻，最终变得一目了然。 曾经困难无比的希尔伯特问题，现如今可以在大学本科课程中轻松作为一个小结论讲授，就是最好的例子。

数学家追求深刻理解的特性，也解释了为什么数学界很少接受“黑盒式”的证明。数学证明真正的价值，不只是告诉我们某个定理成立，而是帮助我们理解它背后的原因。例如阿佩里（Apéry）首次证明 ζ(3) 无理性时，人们最初感到费解，但后来却激发了更多更深入的研究。

也正是因为如此，数学系的研究生经常遇到这样的情况：向导师提出问题时，导师往往回答：“去读这几本书，几个月后再来讨论。”有时虽然可以快速给出答案，但这并不能帮助学生形成正确的思维方式。 我甚至听过教授们开玩笑说：“读错书可能会‘造成大脑损伤’”——意思是错误的解释会阻碍真正的深入理解。正如高斯曾经说过：“在数学上，没有一条通往精通的捷径。”

数学的文化与价值观

数学高度重视 「优雅」 这个特质。英国数学家 G.H. 哈代在他的名著《一个数学家的辩白》中，将数学形容为一种类似诗歌或绘画的审美追求。这种对美感和优雅的强调不仅是风格偏好，更往往带来了更深入的理解和更强大的概括能力。

数学圈还有一个鲜明特点，就是深刻的谦逊态度，最经典的例子就是牛顿那句：

“如果我看得更远一点，是因为我站在巨人的肩膀上。”

年轻的数学家很快就会意识到，无论自己多么聪明或雄心勃勃，都必须先踏踏实实地理解前人做过的工作。那些跳过这个步骤，觉得自己能在不掌握基础的情况下颠覆某个领域的人，往往被数学界视为「民科」（crank）。

数学界的传统是开放和透明的。研究成果都是免费共享的，方法也都会被公开讨论，整个社群会共同验证并继续构建已有的成果。这种透明不仅仅是一种哲学理念，它更是一种实用的方法，让数学家可以相互学习，共同推动整个领域的发展。

数学研究中有一个常被忽视却至关重要的因素，就是「人的因素」。尽管数学真理是客观存在的，但发现这些真理的过程却是非常人性化的，依靠直觉、创造力和合作。虽然理论上讲，每个人都可以参与数学研究（因为数学研究的成果是公开且确定的），但导师和数学社群的作用依然无可替代。导师不仅仅给出研究方向，更重要的是帮助学生培养直觉、品味，以及在庞大的数学文献中找到方向的能力。《普林斯顿数学指南》（2008）中就有一个著名章节，名为《给年轻数学家的建议》，包括迈克尔·阿蒂亚爵士、贝拉·鲍洛巴什、阿兰·孔涅、杜莎·麦克杜夫、彼得·萨纳克等著名数学家的建议，他们都反复强调了导师和社群对年轻数学家成长的重要性。

数学中的署名习惯，也凸显出人性的重要性。数学的成果往往以人的名字命名，而不是单纯以功能来描述，比如著名的“泰特论文”（Tate’s Thesis），“朗兰兹纲领”（Langlands Program），或是一些多人合作的成果，如 CFKRS 猜想（Conrey, Farmer, Keating, Rubinstein, Snaith 的首字母缩写）。这些名字通常并非作者自己决定，而是在社群的交流中自然形成。甚至还有一个有趣的轶事：数学家希尔伯特有一次在演讲后疑惑地问道：“希尔伯特空间究竟是什么？”

数学界还有一个有趣的署名传统，就是作者通常按照姓氏字母顺序排列，而不像其他科学领域有所谓的“第一作者”和“通讯作者”之分。据 Ludo Waltman 2012 年的一篇论文分析，超过 75% 的数学论文采用字母顺序署名，而医学、生物学领域这一比例不到 4%。当然，也有个别例外，比如 RSA 算法论文的作者之一 Adleman 曾主动要求署名排在最后。

这种署名方式反映了数学界更深层的文化价值观。在大会上，不少讲者都提到，数学界和其他学科在导师与学生合著论文方面存在明显的差异。许多其他领域通常认为导师必须成为学生论文的共同作者，但美国数学学会明确规定：作者署名应反映的是实际智力贡献，而不是身份或职位。一位年轻数学家在会上讲到，她曾震惊于其他系的同事理所当然地认为她的导师应成为她博士论文的共同作者。她回忆导师当时的回应：“如果我贡献大到能成为论文作者，那你的博士论文还有什么意义呢？”正如彼得·萨纳克在《给年轻数学家的建议》（2008）中提到的：“数学系的博士生被期望相当独立地工作，而他们通常也确实如此。”

数学研究的过程

数学研究需要极大的耐心。菲尔兹奖得主陶哲轩在博客文章《要有耐心》（2007）中就提醒年轻数学家：“从第一次对问题产生初步的直觉，到最终完全解决，往往需要数年的努力。”不少数学家表示，由于研究需要高度专注，他们每天真正有效率的研究时间可能只有两小时左右。著名数学家雅克·阿达马在《数学领域的发明心理学》（1945）一书中指出，数学思考往往需要长时间的潜意识积累，最终才会在某个时刻突然获得灵感。

阅读数学论文也是一种高度消耗精力的活动，有时甚至一天只能读懂论文中的一页内容。这种阅读不是被动地接收信息，而是要主动地去质疑论证过程，亲自动手检验例子，并将新知识与已有知识关联起来。 我自己最有成就感的日子之一，就是一整天盯着空白的纸张，最终只写下了一个方程，却仍然感到无比兴奋。

安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）花了整整七年的时间攻克了费马大定理。他在回顾自己的研究过程时，将其形容为“一次在黑暗、未知的大房子中的探索之旅”（PBS 纪录片《The Proof》, 1997）。最近，数学界正在尝试用形式化的工具重新证明怀尔斯的证明，这个过程显示出数学证明的复杂性和庞大的规模。例如在 Lean 系统的 mathlib 项目中，尽管已经投入了大量的工作，但目前形式化的定义和证明只覆盖了人类已知数学内容的约 1%。

数学知识的广度更是惊人。即便是最好的本科数学教育，也往往只能将学生带到 20 世纪中期左右的发展水平。历史上最后几位能声称掌握了几乎所有数学知识的数学家，可能就是希尔伯特和庞加莱了，但那已是一百多年前的事了。

数学语言的精准性和高度压缩性，常常让其他领域的人感到吃惊。诺曼·斯廷罗德在《如何撰写数学》（1973）中指出，数学论文力求用最短的阅读时间传达最多的信息，因此必然导致文字密集，需要仔细推敲。数学教育学家詹姆斯·卡普特（1987）的研究也表明，数学符号本质上是一种认知工具，能将复杂概念压缩成易于处理的符号。 在我的博士阶段，我曾深刻感受到这种文化差异：当我旁听工程或计算机科学的课程时，前几节课往往会详细介绍知识的动机和应用前景；而数学系的研究生研讨课则更像师徒制，开场就直奔密集的理论本身，大家都清楚，只有深入理解之后，才能逐渐明白这些知识真正的意义和应用。

在斯坦福担任助教期间，我最有价值的经验之一，是发现学生们普遍误解了数学的难度。他们通常以为，只要花足够的时间学习和记忆，任何考试问题都能被算法式地解决。当他们发现即使是老师也需要花大量时间尝试不同的方法，并不断经历失败才能最终找到答案时，往往大感震惊。正如艾伦·舍恩菲尔德在他里程碑式的著作《数学问题解决》（1985）中所指出的：

“数学领域的专家所拥有的，并不是超强的记忆力，而是解决问题的策略、启发式的方法，以及对自己解题过程的高度觉察与反思能力。”

人工智能与数学

在这次联合数学年会上，大家广泛讨论了人工智能可能如何为数学做出贡献。有趣的是，大多数数学家真正感兴趣的并不是 AI 去创造新的数学成果，而是希望 AI 帮助整理和处理已有的知识，例如连接不同数学领域之间的关系、自动转换各领域的不同符号表达，以及自动完成一些繁琐的计算。

杨立昆（Yann LeCun）在演讲中谈到，目前流行的基于“预测下一个词”（next-token prediction）的语言模型在数学推理上存在局限性，他同时提出更有前景的方向，比如 JEMA 模型。多位学者也指出，AI 工具在处理日益庞大的数学文献方面可能特别有价值，因为如今用传统方法去检索、整理相关研究成果已越来越难以管理。

数学与 AI 之间不同的价值体系

会上有个故事很能体现数学和 AI 领域之间的文化差异：当人工智能系统独立再现了一些已知的数学结果时，数学家们很兴奋（因为这表明 AI 系统有能力理解现有的数学知识），而 AI 研究人员却感到失望（他们希望的是 AI 能给出新的成果）。 这背后的差异正是双方的根本目标不同：数学家更看重的是对现有知识更深入的理解，而 AI 研究者通常更看重新颖的发现。

有几位讲者提到了一个核心难题：“在无限多可以证明的正确命题中，到底哪些是有意义的？”数学界所看重的成果，不只是“正确的”和“可证明的”，更重要的是“我们在乎的”，而这个判断需要数学品味、数学背景以及数学共同体的价值观来决定。

不过，大家对于 AI 帮助数学家完成日常工作的潜力确实表现出了极大的热情。Robert Ghrist 教授介绍了自己如何用 AI 来加速数学教材的写作（具体详见他的文章《实用 AI 工具助力数学家工作》），这种非常实用的应用尤其引起大家的兴趣——它并非取代数学家，而是更好地支持数学家的思考过程。

此外，关于形式化证明（如 Lean 系统）与自然语言方法之间的争论也体现出双方文化上的另一个矛盾：有些数学家非常喜欢 Lean 这种严密、形式化的证明系统，但其代价是需要将数学翻译成严格的形式语言；而另一些人则更倾向于贴近数学家日常沟通习惯的自然语言表述方式。 这两种路线各有优点，但也体现了两种不同的价值观与优先级。

人工智能研究和数学之间最根本的差异，可能还在于知识产生方式上的不同。AI 研究（尤其是深度学习领域）主要依靠实验性的、经验性的探索，甚至与传统的理论框架有明显冲突。 著名的统计学习理论奠基者瓦普尼克（Vladimir Vapnik）在 1998 年曾质疑神经网络，他认为从理论上说神经网络对于复杂问题应该是无法训练成功的。然而，2017 年张驰等人的经典论文《理解深度学习需要重新思考泛化》就直接挑战了这种理论与实践之间的脱节现象，记录了深度学习如何在理论上“不该成功”的情况下，依然能够在现实中取得巨大成功。

对未来的影响与担忧

一个引起广泛关注的问题是：

“如果某个 AI 系统真的证明了黎曼猜想这样的著名数学难题，但其证明过程复杂到人类根本无法理解，那么这样的结果能让人满意吗？这是否真的推动了数学理解的进步？”

大多数数学家认为，这样的证明虽然在技术上解决了问题，但却无法带来数学家真正追求的深刻理解。

一些 AI 研究人员自信地预测，人工智能将在五年内解决一个重要的数学难题。许多数学家对这种预测表示怀疑——他们的怀疑倒不一定是怀疑 AI 的能力，而是质疑 AI 所带来的成果是否真正符合数学家的标准。对数学家而言，缺乏概念性提升的纯技术成果，依然是不够完整的。

弥合差距

美国数学学会公报在 2023 年出版了一期关于 AI 与数学关系的特刊，其中提供了理解这些不同观点的很好的基础。Jeremy Avigad 在他的文章《数学与形式化转向》中写道：

“数学从来都是通过创造抽象概念，帮助我们更有效地思考、更精确地沟通、解决困难的问题，并达成对知识合理性的稳定共识……我们可以利用技术做许多事情，但如果这些技术并没有帮助我们达到上述目标，那我们做的可能就不是数学。”

菲尔兹奖得主阿克谢·文卡特什（Akshay Venkatesh）提出了一个有趣的“贝叶斯模型”，描述数学家如何评估成果的重要性：

当一个猜想能够推导出另一个猜想时，我们会相应更新对两个问题难度的估计；当一个数学家证明了一个困难的成果时，我们也会同时更新对这个成果和该数学家的评价。

他在“数学中的价值与难度”演讲中提出的这一模型意味着，虽然 AI 系统可能会显著改变我们对数学成果的评估，但很多难题依然会超出机器的理解范畴，从而继续凸显出人类洞察力的价值。

AI 与数学合作的潜力方向

通过坦诚地评估数学界的真正需求，最具潜力的 AI-数学合作领域包括：

  1. 文献管理：AI 可以帮助数学家从海量的论文中筛选出相关的内容，找出不同领域之间隐藏的联系。

  2. 定理验证：由 AI 增强的形式验证工具可以帮助检查证明，发现微妙的错误或遗漏。

  3. 证明重构：AI 或许能够将已有的数学结果以更优雅或更一般的形式重新表达，从而揭示底层的本质模式。

  4. 教学与普及：AI 工具能让更多学生和没有传统大学资源的人群更容易地学习数学。

  5. 反例生成：AI 系统可能非常擅长为错误的猜想快速找到反例，从而避免数学家浪费时间追寻错误的方向。

在 AI 时代维持数学文化

在所有讨论中，大家都强调了一个共同的主题：尽管技术不断发展，但必须维护数学界以人为本、开放共享和追求深度理解的传统文化。

多位发言人提出了一些尊重数学界价值观的合作方式：研究成果应该保持开放共享，更注重对结果的解释而非仅仅关注结果本身，并且始终保留人类对数学研究过程的监督与解读权。大家一致认为，AI 应该成为增强人类数学能力的工具，而不是取代人类数学家的存在。

结语

数学与人工智能之间的文化差异并非不可逾越，而恰恰是相互学习与共同成长的机会。两个社群都有自己宝贵的视角：数学界有着深厚的严谨性、耐心与对美的追求，而 AI 研究则带来了新的能量、资源和计算方法。

要跨越这道鸿沟，需要双方建立相互尊重与理解。正如爱因斯坦曾说：“科学最大的目标就是用尽可能少的公理或假设，推导出最多的结论。”（摘自戴森，2006）这一点连接了数学家与 AI 研究者，尽管他们的视角可能不同。

作为一个同时在两个领域中都有经验的人，我深刻感受到这种跨界合作的巨大潜力，也正在努力构建工具和平台，整合双方的优势。我相信，数学在过去几千年中已经不断吸收新工具和方法，同时保持着自己最根本的特质。在 AI 时代，数学也必将继续进化，不是盲目抵抗变化，而是谨慎、深思熟虑地将人工智能融入自己丰富的知识传统之中。

参考资料与资源

《美国数学学会公报》关于人工智能与数学的特刊

Terence Tao（陶哲轩）的博客文章

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